جس طرح سے میں افقی اسیمپٹوٹس (HAs) کو یاد رکھنا پسند کرتا ہوں وہ یہ ہے: BOBO BOTN EATS DC (نیچے پر بڑا، اسمپٹوٹ 0 ہے، اوپر بڑا ہے، کوئی علامت نہیں، ایکسپونٹس ایک جیسے ہیں، عدد کو تقسیم کریں)۔
Bobo کا ریاضی میں کیا مطلب ہے؟
ہندسوں کے لیڈنگ ایکسپوننٹ اور ڈینومینیٹر کے لیڈنگ ایکسپونٹنٹ کا موازنہ کریں۔ پھر BOBO BOTN DC کھاتا ہے۔ کیا BOBO کا مطلب ہے؟ مساوی طور پر، عدد کو صفر کے برابر سیٹ کریں اور x کے لیے حل کریں۔
آپ افقی علامات کو کیسے تلاش کرتے ہیں؟
افقی علامات تلاش کرنے کے لیے:
- اگر ڈینومینیٹر کی ڈگری (سب سے بڑا ایکسپوننٹ) عدد کی ڈگری سے بڑا ہے، تو افقی اسمپٹوٹ x-axis (y = 0) ہے۔
- اگر عدد کی ڈگری ڈینومینیٹر سے بڑی ہے تو کوئی افقی علامت نہیں ہے۔
عمودی علامت کیا ہے؟
عمودی علامتیں عمودی لکیریں ہیں جو عقلی فعل کے ڈینومینیٹر کے زیرو سے مطابقت رکھتی ہیں۔ (وہ دوسرے سیاق و سباق میں بھی پیدا ہو سکتے ہیں، جیسے لوگارتھمز، لیکن آپ کو یقینی طور پر سب سے پہلے عقلیت کے تناظر میں اسیمپٹوٹس کا سامنا کرنا پڑے گا۔)
آپ کو کیسے پتہ چلے گا کہ اگر کوئی عمودی علامات نہیں ہیں؟
عقلی فعل کی عمودی علامت اس وقت ہوتی ہے جب ڈینومینیٹر صفر بن رہا ہو۔ اگر کسی بھی کثیر الثانی y=x2+x+1 کی طرح کسی فنکشن میں کوئی عمودی علامت نہیں ہے کیونکہ ڈینومینیٹر کبھی بھی صفر نہیں ہو سکتا۔ اگرچہ x≠a. تاہم، اگر x کی تعریف a پر کی جاتی ہے تو کوئی ہٹنے والا تعطل نہیں ہے۔
آپ فنکشن کے سوراخ کو کیسے تلاش کرتے ہیں؟
عقلی فعل کو ادنیٰ ترین اصطلاحات میں ڈالنے سے پہلے، عدد اور ڈینومینیٹر کو فیکٹر کریں۔ اگر عدد اور ڈینومینیٹر میں ایک ہی عنصر ہو تو ایک سوراخ ہوتا ہے۔ اس فیکٹر کو صفر کے برابر سیٹ کریں اور حل کریں۔ حل سوراخ کی ایکس ویلیو ہے۔
آپ اختتامی رویے کا تعین کیسے کرتے ہیں؟
ایک کثیر الثانی فعل کا آخری برتاؤ f(x) کے گراف کا رویہ ہے کیونکہ x مثبت لامحدودیت یا منفی لامحدودیت کے قریب پہنچتا ہے۔ ایک کثیر الثانی فعل کی ڈگری اور سرکردہ عدد گراف کے آخری رویے کا تعین کرتے ہیں۔
آپ سوراخ کی y قدر کیسے تلاش کرتے ہیں؟
ممکنہ ایکس انٹرسیپٹ پوائنٹس (-1,0) اور (3,0) پر ہیں۔ سوراخ کے y کوآرڈینیٹ کو تلاش کرنے کے لیے، y = 2 حاصل کرنے کے لیے اس گھٹی ہوئی مساوات میں صرف x = -1 لگائیں۔ اس طرح سوراخ پوائنٹ (-1,2) پر ہے۔ چونکہ عدد کی ڈگری ڈینومینیٹر کی ڈگری کے برابر ہوتی ہے، اس لیے ایک افقی علامت ہے۔
ایک سوراخ میں حد کیا ہے؟
سوراخ کی حد: سوراخ کی حد سوراخ کی اونچائی ہے۔ غیر متعینہ ہے، نتیجہ فنکشن میں سوراخ ہو گا۔ فنکشن ہولز اکثر صفر کو صفر سے تقسیم کرنے کے ناممکن ہونے سے ہوتے ہیں۔
اگر کوئی سوراخ نہ ہو تو کیا کوئی حد ہوتی ہے؟
اگر گراف میں اس قدر پر سوراخ ہے جو x قریب آرہا ہے، فنکشن کی مختلف قدر کے لیے کوئی دوسرا نقطہ نہیں ہے، تو حد اب بھی موجود ہے۔ اگر گراف دو مختلف سمتوں سے دو مختلف نمبروں کے قریب پہنچ رہا ہے، جیسا کہ x کسی خاص نمبر کے قریب پہنچتا ہے تو حد موجود نہیں ہے۔
اگر کوئی حد موجود نہیں ہے تو آپ کیسے بتائیں گے؟
حدود عام طور پر چار وجوہات میں سے کسی ایک کی وجہ سے موجود نہیں رہتی ہیں:
- یک طرفہ حدیں برابر نہیں ہیں۔
- فنکشن کسی محدود قدر تک نہیں پہنچتا (حد کی بنیادی تعریف دیکھیں)۔
- فنکشن کسی خاص قدر (دولن) تک نہیں پہنچتا ہے۔
- x - قدر بند وقفہ کے اختتامی نقطہ کے قریب پہنچ رہی ہے۔
اگر کوئی سوراخ ہو تو کیا یہ مسلسل ہے؟
اس قسم کے وقفے کو ہٹنے والا وقفہ کہا جاتا ہے۔ ہٹنے کے قابل تعطل وہ ہیں جہاں گراف میں ایک سوراخ ہے جیسا کہ اس معاملے میں ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ایک فنکشن مسلسل ہے اگر اس کے گراف میں کوئی سوراخ یا ٹوٹ نہ ہو۔ بہت سے افعال کے لیے یہ تعین کرنا آسان ہے کہ یہ کہاں مسلسل نہیں ہوگا۔
کیا کھلے دائرے میں کوئی حد موجود ہے؟
ایک کھلا دائرہ (جسے ہٹنے والا وقفہ بھی کہا جاتا ہے) کسی فنکشن میں ایک سوراخ کی نمائندگی کرتا ہے، جو x کی ایک مخصوص قدر ہے جس کی قدر f(x) نہیں ہے۔ لہذا، اگر کوئی فنکشن مثبت اور منفی دونوں طرف سے ایک ہی قدر تک پہنچتا ہے اور اس قدر پر فنکشن میں سوراخ ہے، تو حد اب بھی موجود ہے۔
کیا ایک سوراخ غیر متعینہ ہے؟
گراف پر ایک سوراخ ایک کھوکھلے دائرے کی طرح لگتا ہے۔ یہ اس حقیقت کی نمائندگی کرتا ہے کہ فنکشن نقطہ تک پہنچتا ہے، لیکن اصل میں اس کی درست x قدر پر وضاحت نہیں کی گئی ہے۔ جیسا کہ آپ دیکھ سکتے ہیں، f(−12) کی وضاحت نہیں کی گئی ہے کیونکہ یہ فنکشن کے عقلی حصے کے ڈینومینیٹر کو صفر بناتا ہے جو پورے فنکشن کو غیر متعینہ بنا دیتا ہے۔
کیا کونوں پر حدود موجود ہیں؟
حد وہ ہے جو فنکشن تک پہنچتی ہے جب x (آزاد متغیر) کسی نقطہ تک پہنچتا ہے۔ صرف مثبت اقدار لیتا ہے اور 0 تک پہنچتا ہے (دائیں طرف سے نقطہ نظر)، ہم دیکھتے ہیں کہ f(x) بھی 0 تک پہنچتا ہے۔ بذات خود صفر ہے! کونے کے مقامات پر موجود ہیں۔
کیا کسی سوراخ پر مشتق موجود ہو سکتا ہے؟
دیئے گئے نقطہ پر کسی فنکشن کا مشتق اس نقطہ پر ٹینجنٹ لائن کی ڈھلوان ہے۔ لہذا، اگر آپ ٹینجنٹ لائن نہیں کھینچ سکتے ہیں، تو کوئی مشتق نہیں ہے - جو کہ ذیل میں 1 اور 2 کی صورتوں میں ہوتا ہے۔ ایک ہٹنے والا وقفہ - یہ سوراخ کے لیے ایک فینسی اصطلاح ہے - جیسا کہ اوپر دیے گئے اعداد و شمار میں فنکشنز r اور s میں سوراخ۔
ایک کونے میں کوئی مشتق کیوں نہیں ہے؟
اسی طرح، ہم گراف میں کسی کونے یا cusp پر کسی فنکشن کا اخذ نہیں کر سکتے، کیونکہ وہاں ڈھلوان کی وضاحت نہیں کی گئی ہے، کیونکہ نقطہ کے بائیں طرف کی ڈھلوان دائیں طرف کی ڈھلوان سے مختلف ہے۔ نقطہ کے. لہذا، ایک کونے میں بھی ایک فنکشن قابل تفریق نہیں ہے۔
آپ کو کیسے پتہ چلے گا کہ آیا کوئی مشتق موجود ہے؟
تعریف 2.2 کے مطابق۔ 1، مشتق f′(a) عین اس وقت موجود ہوتا ہے جب حد limx→af(x)−f(a)x−a lim x → a f ( x ) − f ( a ) x −a موجود ہو۔ یہ حد x=a پر وکر y=f(x) y = f (x ) تک ٹینجنٹ لائن کی ڈھلوان بھی ہے۔
کیا مشتقات صفر ہو سکتے ہیں؟
ایک فنکشن کا مشتق، f(x) ایک نقطہ پر صفر ہونا، p کا مطلب ہے کہ p ایک ساکن نقطہ ہے۔ یعنی "حرکت" نہیں (تبدیلی کی شرح 0 ہے)۔ مثال کے طور پر، f(x)=x2 میں کم از کم x=0 ہے، f(x)=−x2 کی زیادہ سے زیادہ x=0 ہے، اور f(x)=x3 میں کوئی بھی نہیں ہے۔ آپ اسے بائیں اور دائیں طرف سے مشتق کو دیکھ کر دیکھ سکتے ہیں۔
اہم نکتہ کیا ہے؟
تنقیدی نقطہ ریاضی کی بہت سی شاخوں میں استعمال ہونے والی ایک وسیع اصطلاح ہے۔ ایک حقیقی متغیر کے فنکشنز کے ساتھ کام کرتے وقت، ایک اہم نقطہ فنکشن کے ڈومین میں ایک نقطہ ہوتا ہے جہاں فنکشن یا تو قابل تفریق نہیں ہوتا ہے یا مشتق صفر کے برابر ہوتا ہے۔
آپ کیسے جانتے ہیں کہ ایک اہم نقطہ زیادہ سے زیادہ ہے یا کم سے کم؟
اس بات کا تعین کریں کہ آیا ان اہم نکات میں سے ہر ایک زیادہ سے زیادہ، کم از کم، یا موڑ کا مقام ہے۔ ہر ایک قدر کے لیے، اس x-قدر سے قدرے چھوٹی اور قدرے بڑی کی جانچ کریں۔ اگر دونوں f(x) سے چھوٹے ہیں، تو یہ زیادہ سے زیادہ ہے۔ اگر دونوں f(x) سے بڑے ہیں، تو یہ کم سے کم ہے۔
سپر کریٹیکل کا کیا مطلب ہے؟
"سپر کریٹیکل" کا کیا مطلب ہے؟ کسی بھی مادے کی خصوصیت ایک نازک نقطہ سے ہوتی ہے جو دباؤ اور درجہ حرارت کی مخصوص حالتوں پر حاصل کی جاتی ہے۔ جب کسی مرکب پر دباؤ اور درجہ حرارت اس کے اہم نقطہ سے زیادہ ہوتا ہے تو، سیال کو "سپر کریٹیکل" کہا جاتا ہے۔
ایک نازک موڑ پر کیا ہوتا ہے؟
جیسے جیسے درجہ حرارت بڑھتا ہے، بخارات کا دباؤ بڑھتا ہے، اور گیس کا مرحلہ گھنا ہو جاتا ہے۔ مائع پھیلتا ہے اور کم گھنا ہو جاتا ہے جب تک کہ نازک موڑ پر مائع اور بخارات کی کثافتیں برابر نہ ہو جائیں، دو مرحلوں کے درمیان کی حد ختم ہو جاتی ہے۔
اہم نکتہ کیوں اہم ہے؟
یہ حقیقت اکثر مرکبات کی شناخت یا مسئلہ حل کرنے میں مدد کرتی ہے۔ اہم نقطہ سب سے زیادہ درجہ حرارت اور دباؤ ہے جس پر ایک خالص مادہ بخارات/ مائع توازن میں موجود ہو سکتا ہے۔ اہم درجہ حرارت سے زیادہ درجہ حرارت پر، مادہ مائع کے طور پر موجود نہیں رہ سکتا، چاہے کوئی بھی دباؤ کیوں نہ ہو۔
TS ڈایاگرام میں اہم نقطہ کیا ہے؟
تھرموڈینامکس میں، ایک اہم نقطہ (یا نازک حالت) ایک مرحلے کے توازن وکر کا اختتامی نقطہ ہے۔ سب سے نمایاں مثال مائع – بخارات کا اہم نقطہ ہے، دباؤ کا آخری نقطہ – درجہ حرارت کا منحنی خطوط جو ایسے حالات کا تعین کرتا ہے جن کے تحت مائع اور اس کا بخارات ایک ساتھ رہ سکتے ہیں۔
آپ اہم نکات کی درجہ بندی کیسے کرتے ہیں؟
اہم نکات کی درجہ بندی کرنا
- اہم پوائنٹس وہ جگہیں ہیں جہاں ∇f=0 یا ∇f موجود نہیں ہے۔
- اہم پوائنٹس وہ ہیں جہاں z=f(x,y) تک ٹینجنٹ طیارہ افقی ہے یا موجود نہیں ہے۔
- تمام مقامی ایکسٹریما اہم نکات ہیں۔
- تمام اہم نکات مقامی انتہا پسند نہیں ہیں۔ اکثر، وہ سیڈل پوائنٹس ہوتے ہیں۔
آپ دو متغیرات کے ساتھ کسی فنکشن کی زیادہ سے زیادہ اور کم از کم کیسے تلاش کرتے ہیں؟
ایک متغیر کے فنکشن کے لیے، f(x)، ہم فرق کے لحاظ سے مقامی maxima/minima تلاش کرتے ہیں۔ Maxima/minima ہوتا ہے جب f (x) = 0. x = a زیادہ سے زیادہ ہے اگر f (a) = 0 اور f (a) 0؛ ایک نقطہ جہاں f (a) = 0 اور f (a) = 0 کو موڑ کا نقطہ کہا جاتا ہے۔
آپ کو کیسے پتہ چلے گا کہ ایک اہم نقطہ سیڈل پوائنٹ ہے؟
اگر D<0 تو پوائنٹ (a,b) سیڈل پوائنٹ ہے۔ اگر D=0 ہے تو پوائنٹ (a,b) نسبتاً کم از کم، رشتہ دار زیادہ سے زیادہ یا سیڈل پوائنٹ ہو سکتا ہے۔ اہم نقطہ کی درجہ بندی کرنے کے لیے دیگر تکنیکوں کو استعمال کرنے کی ضرورت ہوگی۔
آپ رشتہ دار زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم کیسے تلاش کرتے ہیں؟
فنکشن f(x) کا پہلا مشتق تلاش کریں اور اہم اعداد تلاش کریں۔ پھر، ایک فنکشن f(x) کا دوسرا مشتق تلاش کریں اور تنقیدی اعداد ڈالیں۔ اگر قدر منفی ہے، تو اس مقام پر فنکشن کا رشتہ دار میکسما ہوتا ہے، اگر قدر مثبت ہے، تو فنکشن کا اس مقام پر رشتہ دار میکسیما ہوتا ہے۔